Résolution des équations du second degré
Forme canonique
Quelle que soit son aspect initial, toute équation du second degré à une inconnue peut être ramenée à la forme suivante :
C'est ce que nous appellerons la forme canonique de l'équation. Ce n'est qu'une fois mise sous cette forme que nous envisagerons d'en chercher les solutions.
Exemple :
Supposons que l'on doive résoudre l'équation
La première chose à faire est de la transformer pour la mettre sous sa forme canonique :
a est le coefficient du terme en
, b est le coefficient du terme en
et c est le terme indépendant.
Dans l'exemple cela donne :
=1, b=-1 et c=-6
Cas général
Partons de l'équation mise sous la forme
avec
Considérons que les coefficients constants
et
sont eux aussi différents de 0.
La recherche des solutions passe alors nécessairement par l'utilisation de l'algorithme que voici :
Calculer le discriminant
La suite passe par le calcul de
, elle n'est possible que si
Si
le calcul de
est impossible et l'équation n'a aucune solution.
Sinon, puisque
le calcul de
est réalisable
Si
l'équation n'a qu'une seule solution
si
, la valeur de
est un nombre réel positif
et l'équation a alors deux solutions
et
Exemple :
Cas particuliers
L'algorithme précédent reste valable dans tous les cas. Cependant, si b ou c valent 0, la recherche des solutions est plus simple et rapide en procédant comme suit :
Si
, autrement dit si l'équation mise sous sa forme canonique n'a pas de terme en
L'équation devient
et donc
Si
, autrement dit, s'il n'y a pas de terme indépendant, par la mise en évidence de x
devient
Si le produit de
par
vaut 0, c'est donc que soit
soit
Les deux solutions possibles sont donc
et
Exemple :
(
, il n'y a pas de terme en x)
les deux solutions son t
et
(
, il n'y a pas de terme indépendant)
Les deux solutions sont
et
