Chapitre :
Format imprimable

Numération et bases de numérations

Système de numération

Un système de numération est un ensemble de conventions pour former les nombres, les dire, les écrire et calculer.

Les nombres s'énoncent :

Comment former les nombres pour compter plus loin ?

Pour compter, nous dénombrons une à une les unités. Quand elles sont en trop grand nombre, nous regroupons les unités pour former un ensemble auquel on donne un nom et que l'on met sur le côté pour compter les unités suivantes jusqu'à ce qu'on puisse les regrouper dans une autre ensemble de même taille. Les regroupements d'unités sont à leur tour regroupés en nouveaux ensembles qui portent un autre nom encore.

Exemples :

Dans la vie courante, et de notre côté de l'occident, on essaie de compter par dizaines, centaines, milliers et autres puissances successives de 10. Autrement dit, nous essayons de n'utiliser qu'une seule base : la base 10 encore appelée le système décimal. Mais ce ne s'est pas toujours passé comme cela et dans d'autres civilisations ou pour d'autres usages il arrive que l'on recoure à d'autres bases de numération.

Les bases de numération

Une base de numération est un nombre dont on utilise les puissances successives pour former d'autres nombres plus importants.

Ainsi, en base 10, les puissances successives sont Un ($1=10^0$), Dix ($10=10^1$ ), Cent ($100=10^2$), Mille ($1000=10^3$), Dix mille ($10.000=10^4$), etc.

Si nous avions 8 doigts !

Le système décimal est le plus commun. Le choix de cette base n'est certainement pas indépendant du fait que nous ayons 10 doigts pour compter.
Probablement que nous compterions en base 8 si nous étions des schtroumpfs

Il existe donc différentes bases de comptage :

Base 60  Système sexagésimal utilisé en Mésopotamie. Il nous en reste 60 minutes, 60 secondes. Le nombre 60 a de nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 et 30
Base 20 Le système vigésimal aurait été utilisé par nos ancêtres gaulois et était commun au moyen âge, il nous reste le "quatre-vingts".
Quatre-vingt-dix, Soixante quinze se basent sur des multiples de 20.
Base 12 Système duodécimal pour compter les mois, les heures et les œufs par douzaines
Base 10 Celle que nous utilisons tous les jours (maintenant que nous portons des chaussures et que nous ne pouvons plus compter aussi sur nos orteils)
Base 5 Système quinaire que l'on retrouve partiellement dans la numération romaine et pour les calculs avec certains Japonais (système biquinaire)
Base 2 Incontournable en informatique. Sans elle, ce cours n’aurait pas lieu. Elle vient du fait que les ordinateurs sont construits à partir de composants qui comme les contacts électriques n’ont que deux états possibles : ouvert ou fermé, bloqué ou passant, 0 ou 1.
Bases 8 et 16  Fort proches du binaire les bases hexadécimale et octale sont plus concises et plus facile à transcrire pour nous « humain » que le binaire fait de longues chaînes de 0 et de 1

 

Pour les matheux !
NB. Tous les nombres, sauf zéro, pourraient servir de base, y compris les nombres fractionnaires et les nombres irrationnels. Mais cela nous éloignerait du but de ce cours. Ceux qui seraient intéressés par la numération en base Pi (par exemple) trouverons certainement sur Internet de quoi satisfaire leur curiosité mais cette recherche tiendrait je pense, pour les lecteurs auxquels ce cours est destiné, plus du délire que de la récréation mathématique.

 


Pour en savoir plus sur l'histoire des nombres et des bases de numération

Petite histoire du nombre

Histoire des mathématiques


XHTML	1.0	validé! CSS validé!