Numération et bases de numérations
Système de numération
Un système de numération est un ensemble de conventions pour former les nombres, les dire, les écrire et calculer.
Les nombres s'énoncent :
-
soit par des mots simples (un nombre = 1 mot)
Exemples : un, deux, trois, , neuf, dix, onze, douze, , seize, vingt, trente, cent, mille - soit par une combinaison de mots nombres liés entre eux par des opérations arithmétiques telles que l'addition et la multiplication : dix-sept, quatre-vingt
Comment former les nombres pour compter plus loin ?
Pour compter, nous dénombrons une à une les unités. Quand elles sont en trop grand nombre, nous regroupons les unités pour former un ensemble auquel on donne un nom et que l'on met sur le côté pour compter les unités suivantes jusqu'à ce qu'on puisse les regrouper dans une autre ensemble de même taille. Les regroupements d'unités sont à leur tour regroupés en nouveaux ensembles qui portent un autre nom encore.
Exemples :
- En parlant de temps : 60 sec = 1 min, 60 min = 1h, 24h = 1 jour
-
Pour mesurer des angles : 60" = 1', 60' = 1° et il faut 360° pour faire un tour.
Remarquez que les ensembles successifs ne doivent pas nécessairement être formés de quantités toujours identiques de sous ensembles. On comprend les raisons pratiques qui font que les heures se comptent par 12 ou 24 et non plus par 60, comme on le faisait pour les minutes et les secondes. -
Plus alambiqué encore (sauf pour nos voisins d'outre-manche) :
1 Pouce = 2,54 cm , 1 Pied = 12 Pouces , 1 Yard = 3 Pieds , 1 Mile = 1760 Yards - On comprend mieux : 1000 gr =1 kg, 1000 kg = 1T
Dans la vie courante, et de notre côté de l'occident, on essaie de compter par dizaines, centaines, milliers et autres puissances successives de 10. Autrement dit, nous essayons de n'utiliser qu'une seule base : la base 10 encore appelée le système décimal. Mais ce ne s'est pas toujours passé comme cela et dans d'autres civilisations ou pour d'autres usages il arrive que l'on recoure à d'autres bases de numération.
Les bases de numération
Une base de numération est un nombre dont on utilise les puissances successives pour former d'autres nombres plus importants.
Ainsi, en base 10, les puissances successives sont Un (1 = 100), Dix (10 = 101), Cent (100=102), Mille (1000 = 103), Dix mille (10.000 = 104), etc.
Le système décimal est le plus commun. Le choix de cette base n'est certainement
pas indépendant du fait que nous ayons 10 doigts pour compter.
Probablement que nous compterions en base 8 si nous étions des schtroumpfs
Il existe donc différentes bases de comptage :
| Base 60 | Système sexagésimal utilisé en Mésopotamie. Il nous en reste 60 minutes, 60 secondes. Le nombre 60 a de nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 et 30 |
| Base 20 |
Le système vigésimal aurait été utilisé par nos ancêtres gaulois et était
commun au moyen âge, il nous reste le "quatre-vingts".
Quatre-vingt-dix, Soixante quinze se basent sur des multiples de 20. |
| Base 12 | Système duodécimal pour compter les mois, les heures et les œufs par douzaines |
| Base 10 | Celle que nous utilisons tous les jours (maintenant que nous portons des chaussures et que nous ne pouvons plus compter aussi sur nos orteils) |
| Base 5 | Système quinaire que l'on retrouve partiellement dans la numération romaine et pour les calculs avec certains Japonais (système biquinaire) |
| Base 2 | Incontournable en informatique. Sans elle, ce cours n'aurait pas lieu. Elle vient du fait que les ordinateurs sont construits à partir de composants qui comme les contacts électriques n'ont que deux états possibles : ouvert ou fermé, bloqué ou passant, 0 ou 1. |
| Bases 8 et 16 | Fort proches du binaire, les bases hexadécimale et octale sont plus concises et plus facile à transcrire pour nous « humain » que le binaire fait de longues chaînes de 0 et de 1 |
